سود مؤثر به میزان بهره انباشته شده

پ: اصلی ، مبلغ سرمایه گذاری شده A: تعادل جدید t: زمان r: نرخ ، (به شکل اعشاری)

EX1: اگر 1000 دلار اکنون با علاقه ساده 8 ٪ در سال سرمایه گذاری می شود. بعد از دو سال مبلغ جدید را پیدا کنید. p = 1000 دلار ، t = 2 سال ، r = 0. 08. A = 1000 (1+0. 08 (2)) = 1000 (1. 16) = 1160

بهره مرکب:

پ: اصلی ، مبلغ سرمایه گذاری A: تعادل جدید t: زمان r: نرخ ، (به شکل اعشاری) n: تعداد دفعاتی که پیچیده می شود. EX2: فرض کنید 5000 دلار در یک حساب پس انداز با نرخ 6 ٪ در سال واریز می شود. در صورت بهره: کل مبلغ سپرده را در پایان 4 سال پیدا کنید:

p = 5000 دلار ، r = 6 ٪ ، t = 4 سال

الف) ساده: A = P (1+RT) A = 5000 (1+ (0. 06) (4)) = 5000 (1. 24) = 6200 دلار

ب) سالانه مرکب ، n = 1: a = 5000 (1 + 0. 06/1) (1) (4) = 5000 (1. 06) (4) = 6312. 38 $

ج) به صورت نیمه ساله مرکب ، n = 2: A = 5000 (1 + 0. 06/2) (2) (4) = 5000 (1. 03) (8) = 6333. 85 $

د) سه ماهه مرکب ، N = 4: A = 5000 (1 + 0. 06/4) (4) (4) = 5000 (1. 015) (16) = 6344. 93 $

ه) ماهانه مرکب ، N = 12: A = 5000 (1 + 0. 06/12) (12) (4) = 5000 (1. 005) (48) = 6352. 44 دلار

ج) روزانه مرکب ، N = 365: A = 5000 (1 + 0. 06/365) (365) (4) = 5000 (1. 00016) (1460) = 6356. 12

علاقه مرکب مداوم:

ترکیب مداوم به معنای ترکیب هر لحظه است ، سرمایه گذاری 1 دلار را برای 1 سال با نرخ 100 ٪ نرخ بهره در نظر بگیرید. اگر نرخ بهره n در هر بار در سال مرکب باشد ، مبلغ مرکب همانطور که قبلاً دیدیم توسط: A = P (1+ R/N) NT داده می شود ، جدول زیر سود مرکب را نشان می دهد که با افزایش تعداد دوره های ترکیبی نتیجه می گیرد:

P = 1 دلار ؛r = 100 ٪ = 1 ؛t = 1 سال

همانطور که جدول نشان می دهد ، با افزایش اندازه N ، مقدار محدود کننده A عدد ویژه است

E = 2. 71828

اگر بهره به طور مداوم برای سالهای t با نرخ R در سال پیچیده شود ، مبلغ مرکب توسط:

A = P. E RT

EX3: فرض کنید 5000 دلار در یک حساب پس انداز با نرخ 6 ٪ در سال واریز می شود. در صورت پیوستن به طور مداوم ، مبلغ کل سپرده را در پایان 4 سال پیدا کنید.(نتیجه را با مثال 2 مقایسه کنید) P = 5000 $ ، R = 6 ٪ ، T = 4 سال A = 5000. E (0. 06) (4) = 5000. (1. 27125) = 6356. 24 $

EX4: اگر 8000 دلار به مدت 6 سال با نرخ 8 ٪ به طور مداوم سرمایه گذاری می شود ، مبلغ جدید را پیدا کنید: P = 8000 دلار ، R = 0. 08 ، t = 6 سال. A = 8000. e (0. 08) (6) = 8000. (1. 6160740) = 12،928. 60 دلار

مقدار معادل:

• اگر نرخ بهره به طور مداوم با نرخ سود سالانه R ترکیب شود ، نرخ بهره مؤثر: = E R - 1

EX6: مبلغی با 7. 5 ٪ در سال به طور مداوم جمع می شود ، نرخ سالانه مؤثر چقدر است؟نرخ مؤثر = E r - 1 = E 0. 075 - 1 = 1. 0079 - 1 = 0. 0779 = 7. 79 ٪

EX7: یک بانک نرخ مؤثر 5. 41 ٪ را ارائه می دهد ، نرخ اسمی چیست؟E R - 1 = 0. 0541 E R = 1. 0541 R = LN 1. 0541 سپس r = 0. 0527 یا 5. 27 ٪

ارزش حاضر:

اگر نرخ بهره در سال در هر سال با نرخ سالانه R پیچیده شود ، ارزش فعلی یک دلار قابل پرداخت T از سال از این زمان است:

اگر نرخ بهره به طور مداوم با نرخ سالانه R پیچیده شود ، ارزش فعلی یک دلار قابل پرداخت T سالها از این پس

p = A. e-rt

EX8: چقدر باید اکنون با نرخ سالانه 8 ٪ سرمایه گذاری کنید تا در صورت ترکیب بهره ، 20 سال تعادل شما از این پس 10،000 دلار خواهد بود. 20) = 2،051. 10 دلار ب) به طور مداوم: P = 10،000. e -(0. 08) (20) = 2. 018. 97 $

4. 3: رشد ، مدل کاهش:

رشد: P (t) = P_oبشرkt

کاهش: p (t) = p_oبشر e-kt

• P (t): تعادل جدید جمعیت جدید قیمت جدید.
• P_o: تعادل اصلی جمعیت اصلی قیمت اصلی
• K: نرخ تغییر رشد ، نرخ بهره را کاهش می دهد
• T: زمان (سالها ، روزها.)

برای ترکیب مداوم ، زمان لازم برای دو برابر کردن قیمت ، جمعیت یا تعادل با استفاده از K به عنوان نرخ تغییر ، نرخ رشد یا نرخ بهره توسط:

توجه: زمان لازم برای سه گانه آن T = ln3/k و غیره است.(فقط اگر به طور مداوم مرکب باشد).

EX9: نرخ رشد در یک کشور خاص 15 ٪ در سال است. با فرض رشد نمایی: الف) راه حل معادله را از نظر PO و k پیدا کنید. ب) اگر اکنون جمعیت 100000 نفر است ، در 5 سال جمعیت جدید را پیدا کنید. ج) چه زمانی 100000 خود دو برابر خواهد شد؟پاسخ: الف) ص_oبشرE 0. 15t ؛ب) 211،700 ؛ج) 4. 62 سال

EX10: اگر مبلغ پول در 10 سال دو برابر شد ، نرخ بهره بانک را پیدا کنید. پاسخ: 6. 93 ٪

EX11: در سال 1965 قیمت یک کتاب ریاضی 16 دلار بود. در سال 1980 40 دلار بود. با فرض مدل نمایی: الف) K (نرخ متوسط) را پیدا کنید و معادله را بنویسید. ب) هزینه کتاب را در سال 1985 پیدا کنید. ج) پس از چه زمانی هزینه کتاب 32 دلار خواهد بود؟پاسخ: الف) 6. 1 ٪ ؛ب) 54. 19 دلار ؛ج) t = 11. 36 سال

EX12: چه مدت طول می کشد تا روزانه 6. 36 ٪ مرکب به ارزش سه گانه بپردازد؟پاسخ: 17. 27 سال

EX13: یک زن و شوهر می خواهند تعادل اولیه در 5 سال به 211،700 دلار رشد کنند. نرخ بهره به طور مداوم 15 ٪ پیچیده می شود. تعادل اولیه چه باید باشد؟پاسخ: 100000 دلار

EX14: جمعیت یک شهر در سال 1970 250،000 و در سال 1980 200000 نفر بود (کاهش). با فرض اینکه جمعیت با توجه به نمایی نمایی کاهش می یابد ، جمعیت را در سال 1990 پیدا کنید. پاسخ: 160،000